Question

如图，点M、N分别是?ABCD的DC、CB边的中点，连接AM、AN，分别交□ABCD的对角线BD于E、F点，
（1）求证：点E、F是线段BD的三等分点；
（2）若?ABCD的面积为S，求△AMN的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质，先证明△DEM∽△BEA，△BNF∽△DFA，再根据相似三角形的性质得出点E、F是线段BD的三等分点；
（2）根据S_△AMN=S_{四边形ABCD}-S_△AMD-S_△NMC+S_△ABN可求．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形和△DEM∽△BEA
又∵M为DC的中点，所以DM：AB=1：2，∴DE：BE=1：2
即E是DB的三等分点
同理△BNF∽△DFA
由N为BC的中点，得F是DB的三等分点．
所以E，F为线段BD的三等分点．

（2）解：因为M．N是DC和CB的中点，
在△ABC中，S_△AMD=S_△ABN=S_{四边形ABCD}=

1

4

S，
S_△NMC=

1

4

S_△BCD=

1

8

S_{四边形ABCD}=

1

8

S
所以S_△AMN=S_{四边形ABCD}-S_△AMD-S_△NMC+S_△ABN=S-

1

4

S-

1

4

S-

1

8

S=

1

2

S-

1

8

S=

3

8

S．

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．要熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．