Question

正方形ABCD内有两点E、F满足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的面积

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，进而得到AC的长，在Rt△ABC中，由AB=AC•sin45°，即可求出正方形的边长．

解答：解：连接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=1，EF=FC=3，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=

3

4

，FM=

9

4

，
在Rt△AEM中，AM=

AE2+EM2

=

5

4

，
在Rt△FCM中，CM=

CF2+FM2

=

15

4

，
∴AC=AM+CM=5，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB²+BC²=AC²=25，
∴AB²=

25

2

故正方形ABCD的面积为

25

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．