Question

（1998•黄冈）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，以顶点A为圆心，AB长为半径的圆交⊙O于F点，交BC于G点（AB＜OB）．AD⊥BC于D，AD与BF交于E点，OF交⊙A于H点．求证：
（1）△ABE是等腰三角形；
（2）

FH

2AE

=

BF

BC

．

Answer 1

分析：（1）连接AF，作⊙O，由垂径定理得出弧AB=弧BM，推出∠BAD=∠ACB，根据AF=AB推出∠AFB=∠ACB=∠ABD，推出∠BAE=∠ABD，求出即可；
（2）求出FH=2BD，证△BDE∽△BFC，推出

BF

BC

=

BD

BE

，把BE=AE和BH=2BD代入求出即可．

解答：（1）证明：连接AF，作⊙O，
∵BC为⊙O直径，AD⊥BC，
∴弧AB=弧BM，
∴∠BAD=∠ACB，
∵AF=AB，
∴弧AF=弧AB，
∴∠AFB=∠ACB=∠ABD，
∴∠BAE=∠ABD，
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰三角形；

（2）证明：连接AG、AF，FC，
∵AB=AF，OB=OF，
∴∠ABF=∠AFB，∠OBF=∠OFB，
∴∠ABF+∠OBF=∠AFE+∠OFB，
∴∠ABO=∠AFO，
∵AB=AG，AF=AH，
∴∠ABG=∠AGB=∠AFH=∠AHF，
∴由三角形内角和定理得：∠FAH=∠BAG，
在△BAG和△FAH中

AB=AH ∠BAG=∠FAH AG=AF

∴△BAG≌△FAH（SAS），
∴BG=FH，
∵AB=AG，AD⊥BG，
∴BG=FH=2BD=2GD，
∵BC是⊙O直径，AD⊥BC，
∴∠BDE=∠BFC=90°，
∵∠EBD=∠FBC，
∴△BDE∽△BFC，
∴

BF

BC

=

BD

BE

，
∵BE=AE，BH=2BD，
∴

BF

BC

=

1 2 FH

AE

=

FH

2AE

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．