Question

已知抛物线y=x²+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+1的顶点在x轴上，即可得y=x²+bx+1=（x±1）²，即可得抛物线的解析式为y=x²-2x+1或y=x²+2x+1，然后将B（3，4）代入函数解析式即可确定B是否在抛物线上；
（2）由直线y=kx+m经过A、B两点，即可得直线AB的解析式，设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E．由PE=h=y_P-y_E，即可得当x为何值时，h取得最大值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+1的顶点在x轴上，
∴y=x²+bx+1=（x±1）²．
∴b=±2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1或y=x²+2x+1．（2分）
将B（3，4）代入y=x²-2x+1，左=右，
∴点B在抛物线y=x²-2x+1上．
将B（3，4）代入y=x²+2x+1，左≠右，
∴点B不在抛物线y=x²+2x+1上．（3分）

（2）∵A点坐标为（0，1），点B坐标为（3，4）．
∵直线y=kx+m，A、B两点，
∴

1=m 4=3k+m

．
∴

m=1 k=1

．
∴y=x+1．（4分）
∵点B在抛物线y=x²-2x+1上．
设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E
=（x+1）-（x²-2x+1）
=-x²+3x．
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（6分）
∴当x=-

b

2a

=

3

2

时，h有最大值，
最大值为y=-（

3

2

）²+3×

3

2

=

9

4

．（7分）

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，函数与点的关系以及二次函数的最值问题．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．