Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

等腰梯形的性质；一元二次方程的应用．

专题：

压轴题；开放型．

分析：

（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK=（BC﹣AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG=，利用面积公式可得S_△BEF=﹣x²+x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；

（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到S_梯形ABCD=﹣x²+x，即14=﹣x²+x，解得，x₁=7，x₂=5（不合题意，舍去）；

（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．

解答：

解：（1）由已知条件得：

梯形周长为24，高4，面积为28．

过点F作FG⊥BC于G

∴BK=（BC﹣AD）=×（10﹣4）=3，

∴AK==4，

∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，

∴BF=12﹣x，

过点A作AK⊥BC于K

∴△BFG∽△BAK，

∴，

即：，

则可得：FG=×4

∴S_△BEF=BE•FG=﹣x²+x（7≤x≤10）；（3分）（2）存在（1分）

由（1）得：﹣x²+x=14，

x²﹣12x+35=0，

（x﹣7）（x﹣5）=0，

解得x₁=7，x₂=5（不合题意舍去）

∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；（3）不存在（1分）

假设存在，第一种情况：显然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），

梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=X，

所以BF=（8﹣X）

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴=，

∴FM=，

∴△BEF的面积=，

当 _{梯形ABCD的面积}=时，

∴=，

整理方程得：﹣3x²+24x﹣70=0，

△=576﹣840＜0

∴不存在这样的实数x．

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．

同时分成1：2的两部分．（2分）

第二种情况：显然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），

梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=x，

所以BF=（8﹣x）

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴FM=，

∴△BEF的面积=，

当 _{梯形ABCD的面积}=时，

∴=，

整理方程得：3x²﹣24x+140=0，

△＜0

∴不存在这样的实数x．

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．

同时分成1：2的两部分．

点评：

本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．