Question

（1997•福州）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，

5

3

），与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-5．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（3）若一次函数y=kx+m的图象过二次函数的顶点P，把△PAB分成两个部分，其中一个部分的面积不大于△PAB面积的

1

3

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得出方程Z²-4Z-5=0的两根，进而根据x₂＜x₁，求出A，B坐标即可；
（2）根据y=ax²+bx+c过A、B、C三点，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）根据A，B坐标，利用△PAB底边3等分点得出相关直线解析式进而得出m的取值范围．

解答：解：（1）∵

x1+x2=4 x1•x2=-5

，
∴x₁，x₂是方程Z²-4Z-5=0的两根
解得：Z₁=5，Z₂=-1
∵x₁＞x₂，∴x₁=5，x₂=-1
∴A、B两点的坐标是A（5，0），B（-1，0）；

（2）∵y=ax²+bx+c过A、B、C三点
∴

25a+5b+c=0 a-b+c=0 c= 5 3

解得：

a=- 1 3 b= 4 3 c= 5 3

∴二次函数的解析式为：
y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

即y=-

1

3

（x-2）²+3，
∴顶点P的坐标为（2，3）；

（3）据图形特征知，当一次函数图象过P（2，3）且过（1，0）或（3，0）时，
就把△PAB分成两部分，其中一部分三角形的面积为△PAB面积的

1

3

，
①设过（3，0），（2，3）的一次函数的解析式为：y=ax+b，
则

3a+b=0 2a+b=3

，
解得：

a=-3 b=9

故一次函数的解析式为：y=-3x+9，
同理可得出：过（5，0）（2，3）的一次函数的解析式为：y=-x+5．
又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，
∴此一次函数图象与y轴交点的纵坐标为m．
观察图形变化得：5＜m≤9，
②过（-1，0）（2，3）的一次函数的解析式为y=x+1，
过（1，0）（2，3）的一次函数的解析式为y=3x-3．
观察图形变化得-3≤m＜1．
∴m的取值范围是：-3≤m＜1或5＜m≤9．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形面积求法以及待定系数法求二次函数解析式和根与系数关系等知识，利用数形结合得出△PAB面积的

1

3

的分界点是解题关键．