Question

（2011•辽阳）如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）试说明直线AC是⊙O的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC是⊙O的切线；
（2）知道OE∥BC，利用平行线分线段成比例定理即可解答．

解答：（1）证明：连接OE．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE∥BC．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA²=OE²+AE²．
∵AE=4，AD=2，
∴（2+r）²=r²+4²．
∴r=3．
∵OE∥BC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

．
∴

2+3

2+6

=

3

BC

．
∴BC=

24

5

．

点评：本题考查了切线的判定、勾股定理和平行线分线段成比例定理，是一道综合题，但难度不大．