Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于A（a，2），B（4，b）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）点C是第一象限内一点，连接AC，BC，使AC∥x轴，BC∥y轴，连接OA，OB．若点P在y轴上，且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) 反比例函数的表达式为y＝（x＞0）;(2) 点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）

【解析】

（1）根据点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，再运用待定系数法解答即可；

（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，构建矩形OECF，根据S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF，设点P（0，m），根据反比例函数的几何意义解答即可．

（1）∵点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上，

∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3，

∴a＝2，b＝1，

∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），

又∵点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝2×2＝4，

∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；

（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，

∵AC∥x轴，BC∥y轴，

则有CE⊥y轴，CF⊥x轴，点C的坐标为（4，2）

∴四边形OECF为矩形，且CE＝4，CF＝2，

∴S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF

＝2×4﹣×2×2﹣×4×1

＝4，

设点P的坐标为（0，m），

则S△OAP＝×2|m|＝4，

∴m＝±4，

∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．