Question

【题目】如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y=x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点,连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C.

(1)如图，当点B在线段OD上时，求证：AB=AC；

(2)①如图，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上， OA、OB、OC之间的数量关系为________(不用说明理由)；

②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明原因.

(3)直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点E、F，若BE=5，CF=12，直接写出AB的长.

Answer 1

【答案】（１）证明见解析；(2)①OA=（OC+OB）；②OA=（OB-OC）；(3)10； 15．

【解析】

（1）过点A作AE⊥OC于点E,先证明四边形ADOE是正方形，再证明Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS），从而求得结论；(2)①过点A作AE⊥OC于点E,方法同（1）证明四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，△AOD是等腰直角三角形，再应用勾股定理即可得结论OA=（OC+OB）；②方法同①得结论：OA=（OB-OC）；（3）①当点B在线段OD上时，将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，连接EF′，证明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13，再证明△AEF≌△AEF′，所以EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，而△ABC是等腰直角三角形，所以AB==10; ②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，方法同①，解得：AB=15;③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上时，方法同上,解得:AB=3 .

（1）过点A作AE⊥OC于点E,

∵AD⊥y，点A在y=x上，∠DOE=90°

∴四边形ADOE是矩形，AE=OE，

∴矩形ADOE是正方形，

∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,

∴∠DAB=∠EAC，

又∵∠BDA=∠CEA=90°

∴Rt△ADB≌Rt△AEC

∴AB=AC.

(2)① 过点A作AE⊥OC于点E,

方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD，即OD=（OC+OB）

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD =×（OC+OB）=（OC+OB），

即OA=（OC+OB），

②过点A作AE⊥OC于点E,

方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OB-OD=OC+OE，即OB-OC=OD+OE=2OD=OA，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD，OD= OA ，

∴OB-OC= OD+OE=2OD=OA，即OB-OC=OA，OA=（OB-OC）

（3）①当点B在线段OD上时，

将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，连接EF′，BF′=CF=12，∠ACB=∠ABC=∠ABF′=45°，∠CBF′=∠ABC+∠ABF′=90°，所以∠EBF′=90°,

又∵BE=5，∴EF′=13，

∵∠F′AO=90°， ∠FAE=∠F′AE=45°，AE=AE，AF=AF′，

∴△AEF≌△AEF′

∴EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，

由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，∴AB==10;

②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，

方法同①，旋转△AFC到△AF′B，证出∠EBF′，EF′=13=EF，BC=BE+EF+FC=5+13+12=30，所以等腰直角三角形ABC的直角边AB=15;

③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，

已证△ABC是等腰直角三角形，

过点B作BF′⊥BC于点B，截取 BF′=CF=12， 连接F′E、F′A，∵BE=5，

∴∠ABF′=∠ACF=135°,EF′=13

AB=AC，

∴△ABF′≌△ACF，可得AF′=AF，∠BAF′=∠CAF，

∴∠BAC=∠F′AF=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=45°=∠EAF′，又AE=AE

∴△EAF≌△EAF′，

∴EF=EF′=13，EC=EF-CF=13-12=1，BC=BE+EC=1+5=6，

∴在等腰直角三角形ABC中，直角边AB=3.