Question

【题目】△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2．要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形（剪法如图1所示），图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照图1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2=_____；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第2018次剪取后，S2018=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，可求得,同理可得规律Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可得答案.

∵四边形ECFD为正方形，∴ED＝EC＝CF＝DF,∠AED＝∠DFB＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴AE＝DE＝CE＝DF＝BF＝EC＝CF,∵AC＝BC＝2，∴DE＝DF＝1，∴S△AED＋S△BDF＝S正方形ECDF＝1;同理S2即是第二次剪取后的剩余三角形的面积和，Sn即为第n次剪取后的三角形面积和，∴第一次剪取后剩余三角形的面积和为2－S1＝1＝S1,第二次剪取后剩余三角形的面积和为S1－S2＝＝S2，第三次剪取后剩余三角形的面积和为S2－S3＝＝S3，∴第2018次剪取后剩余三角形的面积和为S2017－S2018＝.