Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线：的顶点．

（1）求A、B两点的坐标．
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当为直角三角形时，直接写出m的值．______

Answer 1

（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2）存在使得面积最大的点P，最大面积是；（3）或.

解析试题分析：（1）将y=mx²-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C₁的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线B
的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM²，BD²，MB²，再分两种情况：①DM²+BD²=MB²时；②DM²+MB²=BD²时，讨论即可求得m的值．
试题解析：（1）在中，
令y=0，则，解得x=3或x=-1．
∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．
（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为，
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得
 解得
∴ ．
设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为 ，
代入，得．
设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.

设H点坐标为（x，0），则G（x，），P（x，）．
则PG=-()=.
∵

∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P，最大面积是．
（3）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
当△BDM为Rt△时有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．
①DM²+BD²=MB²时有：m²+1+9m²+9=16m²+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM²+MB²=BD²时有：m²+1+16m²+4=9m²+9，
解得或
考点: 二次函数综合题．