Question

【题目】（1）（学习心得）

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．

（2）（问题解决）

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．

（3）（问题拓展）

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）∠BAC＝25°；（3）﹣1

【解析】

（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．

（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，

（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

解：（1）如图1，

∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴点A、B、C、D共圆，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1+∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

则OH＝AO＝AB＝1，

在Rt△AOD中，OD＝，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值＝OD﹣OH＝﹣1．

故答案为：﹣1．