Question

已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x²-2mx+（m-

1

2

）²+

7

4

=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．

Answer 1

（1）当m=2时，x²-4x+4=0．
∵△=0，方程有两个相等的实数根．
∴AB=CD，此时AB∥CD，则该四边形是平行四边形；
当m＞2时，△=m-2＞0，
又∵AB+CD=2m＞0，
AB•CD=（m-

1

2

）²+

7

4

＞0，
∴AB≠CD．
该四边形是梯形．

（2）根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半．
则根据PQ=1，得CD-AB=2．
根据（1）中的AB+CD和AB•CD的式子得（2m）²-4（m²-m+2）=4，
∴m=3．
当m=3时，则有x²-6x+8=0，
∴x=2或x=4，
即AB=2，CD=4．

（3）根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC．
∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．
∵tan∠BDC+tan∠BCD=

4

3

3

，
tan∠BDC•tan∠BCD=1．
∴所求作的方程是y²-

4

3

3

y+1=0．