分析 (1)把点A(3,m)代入y=(x-1)2+1,得到关于m的方程,解方程即可求得;
(2)由于线段AB为定长,故四边形ABPQ周长最小值即可转化为线段BP、PQ、QA和的最小值问题;作点A关于直线x=1的对称点A′,点B关于x轴对称点B′,连接A′B′,分别交直线x=1,x轴于点Q、P,则所作点Q、P即为所求.此时四边形ABPQ周长最小,最小值为AQ+PQ+PB+AB=A′Q+QP+PB′+AB=A′B′+AB,根据轴对称求得A′、B′的坐标,然后根据勾股定理求得AB、A′B′的长即可求得.
解答 解:(1)∵点A(3,m)在抛物线y=(x-1)2+1上,
∴m=(3-1)2+1=5.
故答案为5.
(2)由于线段AB为定长,故四边形ABPQ周长最小值即可转化为线段BP、PQ、QA和的最小值问题.
如图,作点A关于直线x=1的对称点A′,点B关于x轴对称点B′,连接A′B′,分别交直线x=1,x轴于点Q、P,则所作点Q、P即为所求.此时四边形ABPQ周长最小,最小值为AQ+PQ+PB+AB=A′Q+QP+PB′+AB=A′B′+AB,
∵B(4,1),A(3,5),
∴A′(-1,5),B′(4,-1),AB=$\sqrt{(4-3)^{2}+(1-5)^{2}}$=$\sqrt{17}$
∴A′B′=$\sqrt{(4+1)^{2}+(-1-5)^{2}}$=$\sqrt{61}$,
∴四边形ABPQ周长最小值为:A′B′+AB=$\sqrt{61}$+$\sqrt{17}$.
故答案为$\sqrt{61}$+$\sqrt{17}$.
点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,轴对称-最短路线问题,勾股定理的应用等,(2)找出P、Q的位置是解题的关键,两点之间线段最短是轴对称问题的依据.
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