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    12．若以三角形的一边为边向形外作正三角形，以这边所对两个顶点为端点的线段称这个三角形的奇异线．
    如图1，以△ABC的边BC为边，向外作正△BCD，则AD是△ABC的一条奇异线．
    （1）如图2，CD，AE都是△ABC的奇异线，求证：CD=AE；
    （2）如图3，△ABC内接于⊙O，BD是它的奇异线，且点D在⊙O上，
    ①直接写出∠ABC=120度．
    ②若AB=2，BC=3，求奇异线BD的长．
    （3）若图1△ABC中，∠BAC=30°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的奇异线AD的长．

    分析 （1）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△DBC≌△ABE进而得出答案；
    （2）①利用圆内接四边形对角互补得出答案；
    ②得出∠CBE=120°+60°=180°，进而得出答案；
    （3）首先得出，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，进而利用勾股定理得出答案．

    解答 （1）证明：如图2，由题意可得：△ABD、△BCE为正三角形，
    ∴AB=DB，BC=BE，
    ∠ABD=∠CBE=60°，
    ∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
    即∠DBC=∠ABE；
    在△DBC和△ABE中
    ∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBC=∠ABE}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
    ∴△DBC≌△ABE（SAS），
    ∴CD=AE；

    （2）解：①如图3，∵∠ADC=60°，
    ∴∠ABC=120°，
    故答案为：120；

    ②如图①，

    以BC为边向外作正△BCE，则BD=AE，
    ∴∠CBE=120°+60°=180°，
    ∴A，B，E在同一直线上，
    ∴BD=AE=AB+BE=AB+BC=2=3=5，


    （3）解：如图②，

    以AC为边向外作正△ACE，则AD=BE，
    在△ABE中，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
    ∵AB=$\sqrt{2}$，AE=AC=$\sqrt{3}$，
    ∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
    ∴AD=BE=$\sqrt{5}$．

    点评 此题主要考查了圆的综合以及圆内接四边形的性质和正三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．

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