【题目】已知抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,其中抛物线l1:y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),且AB=6;抛物线l2与l1交于点A和点C(5,n).
(1)求抛物线l1,l2的表达式;
(2)当x的取值范围是 时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;
(3)直线MN∥y轴,交x轴,l1,l2分别相交于点P(m,0),M,N,当1≤m≤7时,求线段MN的最大值.
【答案】(1)y=x2﹣2x+
(2)2≤x≤4(3)12
【解析】
(1)首先确定A、B两点坐标,求出抛物线l1的解析式,再求出点C坐标,利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可;
(2)观察图象可知,中两个抛物线的顶点之间时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大,求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题;
(3)分两种情形分别求解:①如图1中,当1≤m≤5时,MN=﹣m2+6m﹣5=﹣(m﹣3)2+4,②如图2中,当5<m≤7时,MN=m2﹣6m+5=(m﹣3)2﹣4,利用二次函数的性质即可解决问题;
(1)由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4,
∵抛物线l1交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),且AB=6,
∴A(1,0),B(7,0),
把A(1,0)代入y=ax2﹣8ax﹣,解得a=﹣
,
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣
,
把C(5,n)代入y=﹣x2+4x﹣
,解得n=4,
∴C(5,4),
∵抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,
∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c,
把A(1,0),C(5,4)代入y=x2+bx+c,
得到,解得
,
∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+
.
(2)观察图象可知,中两个抛物线的顶点之间时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大,
顶点E(2,﹣),顶点F(4,
)
所以2≤x≤4时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大,
故答案为2≤x≤4.
(3)∵直线MN∥y轴,交x轴,l1,l2分别相交于点P(m,0),M,N,
∴M(m,﹣m2+4m﹣
),N(m,
m2﹣2m+
),
①如图1中,当1≤m≤5时,
MN=﹣m2+6m﹣5=﹣(m﹣3)2+4,
∴m=3时,MN的最大值为4.
②如图2中,当5<m≤7时,MN=m2﹣6m+5=(m﹣3)2﹣4,
5<m≤7时,在对称轴右侧,MN随m的增大而增大,
∴m=7时,MN的值最大,最大值是12,
综上所述,MN的最大值为12.
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【题目】我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果mx+n=0,其中m、n为有理数,x为无理数,那么m=0且n=0.
(1)如果,其中a、b为有理数,那么a= ,b= .
(2)如果,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
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【题目】如图,⊙O的直径AB的长为2,点C在圆周上,∠CAB=30°,点D是圆上一动点,DE∥AB交CA的延长线于点E,连接CD,交AB于点F.
(1)如图1,当∠ACD=45°时,求证:DE是⊙O的切线;
(2)如图2,当点F是CD的中点时,求△CDE的面积.
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【题目】某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多,对文物古迹会产生不良影响,但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题,还要保证有一定的门票收入,因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数.在实施过程中发现:每周参观人数y(人)与票价x(元)之间怡好构成一次函数关系.
(Ⅰ)根据题意完成下列表格
票价x(元) | 10 | 15 | x | 18 |
参观人数y(人) | 7000 | 4500 |
|
|
(Ⅱ)在这样的情况下,如果要确保每周有40000元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应定位多少元?
(Ⅲ)门票价格应该是多少元时,门票收入最大?这样每周应有多少人参观?
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【题目】在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.
(1)求这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果消防员接到命令,要求梯子的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?
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【题目】如图,△ABC在直角坐标系中,
(1)请写出△ABC各顶点的坐标;
(2)若把△ABC向上平移2个单位,再向左平移1个单位得到△A′B′C′,写出A′、B′、C′的坐标,并在图中画出平移后图形;
(3)求出△ABC的面积.
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【题目】某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑,这笔钱大家平均承担.实际捐款时又多了2名教师,因为购买电脑所需的总费用不变,于是每人少捐90元.问共有多少人参加捐款?原计划每人捐款多少元?.
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【题目】已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA∶AB=1∶2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.
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