Question

已知圆的半径为13，两条弦长分别为10和24，且弦AB∥CD，则AB、CD相距

7或17

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：（1）当两条弦在圆心O同侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，与AB交于F点，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，连接OA，OC，利用垂径定理得到E、F分别为CD、AB的中点，由CD与AB的长求出CE与AF的长，再由半径OA与OC的长，利用勾股定理分别求出OE与OF，由OE-OF即可求出两弦间的距离EF的长；
（2）当两条弦在圆心O异侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，与AB交于F点，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，连接OA，OC，利用垂径定理得到E、F分别为CD、AB的中点，由CD与AB的长求出CE与AF的长，再由半径OA与OC的长，利用勾股定理分别求出OE与OF，由OE+OF即可求出两弦间的距离EF的长，综上，得到AB与CD的距离．

解答：解：分两种情况考虑：
（1）当弦AB与弦CD在圆心O同侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，与AB交于F点，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
连接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又∵半径OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OF=

AO2-AF2

=5，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：OE=

CO2-CE2

=12，
则两弦间的距离EF=OE-OF=12-5=7；

（2）当弦AB与弦CD在圆心O异侧时，如图2所示，
过O作OE⊥CD，与AB交于F点，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
连接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又半径OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OF=

AO2-AF2

=5，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：OE=

CO2-CE2

=12，
则两弦间的距离EF=OE+OF=12+5=17，
综上，两条弦间的距离为7或17．
故答案为：7或17．

点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏．