Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=2cm，则BE=4cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE即可；
（3）由全等三角形的性质得出∠ADC=∠BEC，证明B、D、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠DBE=∠DCE=90°即可．

解答 （1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵DB=AB，
∴AD=2AB=4cm，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴BE=AD=4cm；
故答案为：4；
（3）解：BE⊥AD；理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴B、D、E、C四点共圆，
∴∠DBE=∠DCE=90°，
∴BE⊥AD．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．