Question

如图①，抛物线y=x²+x-4与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）如图①，点Q是函数y=x²+x-4的图象在第三象限上的任一点，点Q的横坐标为m，设四边形AQCB的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并求出m这何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）抛物线y=x²+x-4的对称轴上是否存在一点H，使△BCH的周长最小？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图②，若点E为线段BC的中点，EF垂直平分BC交x轴于点F（-3，0），点P是抛物线y=x²+x-4对称轴上的一点，设P点的纵坐标为t，请直接写出∠PEC为钝角三角形时t的取值范围．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²+x-4中，
令x=0，y=-4，即 C（0，-4）；
令y=0，x²+x-4=0，解得：x₁=2、x₂=-4，即 A（-4，0）、B（2，0）．

（2）如右图，过点Q作QG⊥x轴于G，则 Q（m，m²+m-4），OG=-m，AG=0A=4-（-m）=4+m，QG=-m²-m+4；
S=S_△AQG+S_梯形GQCO+S_△OBC
=×（4+m）×（-m²-m+4）+×（-m²-m+4+4）×（-m）+×2×4
=-m²-4m+12
=-（m+2）²+16，
∴当m=-2时，S有最大值，且S_max=16．

（3）如右图，点A、B关于抛物线的对称轴对称，所以当△BCH的周长最短时，点H为直线AC与抛物线对称轴的交点；
设直线AC的解析式：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-4），有：
，解得
∴直线AC：y=-x-4；
由（1）知，抛物线的对称轴：x=-=-1；
∴当x=-1时，y=1-4=-3，即当H（-1，-3）时，△BCH的周长最小．

（4）如右图，分三种情况讨论：
①当点P为直线EF与抛物线对称轴交点时；
已知点E为线段BC的中点，则E（1，-2），又由F（-3，0），可求得：
直线EF：y=-x-，则P₁（-1，-1），t=-1；
②当CP⊥BC，且P为CP与抛物线对称轴交点时；
此时，CP₂∥EF，设直线CP₂：y=-x+b，代入C（0，-4），得：
直线CP₂：y=-x-4，则P₂（-1，-），t=-；
③当CP₃⊥EP₃时，设P₃（-1，t），则：
EP₃²=（1+1）²+（-2-t）²=t²+4t+8，CP₃²=1+（-4-t）²=t²+8t+17，EC²=5；
在Rt△EP₃C中，EP₃²+CP₃²=EC²，即：
t²+4t+8+t²+8t+17=5，
化简，得：t²+6t+10=0，此方程无解，这种情况不成立；
综上，当t＞-1或t＜-时，△ECP为钝角三角形．
分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求得点C的坐标；令y=0，可求得点A、B的坐标．
（2）过点Q作QG⊥x轴于G，将四边形AQCB分作△AQG、梯形GQCO、△OBC三部分，设出点Q的坐标后，用m表达出上述三部分的面积和，即可得到关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的m的值．
（3）△BCH的周长中，BC的长是定值，若△BCH的周长最短，那么BH+CH的长最短；点A、B关于抛物线的对称轴对称，那么直线AC与抛物线对称轴的交点即为符合条件的点H．
（4）此题需要考虑三种情况：①当P为直线EF与抛物线对称轴的交点时t的值；②当P为过点C且与直线BC垂直的直线与抛物线对称轴的交点时t的值；③当P为Rt△PEC的直角顶点时t的值；结合图形和上时三种情况来讨论△PEC为钝角三角形时t的取值范围．
点评：此题主要考查了：图形面积的求法、二次函数的应用、轴对称图形的性质与两点间线段最短的综合应用、直角三角形以及钝角三角形的特点等重要知识，涵盖了二次函数综合题中多类常考题型．最后一题中，找出△ECP是直角三角形时t的值（共三种情况）是解答题目的关键．