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精英家教网如图,边长为a的菱形ABCD中,∠A=60°,过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F,连接DE、BF交于M,若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2,求证:R1•R2为定值,并求这个定值.
分析:可以证明△BEC∽△DCF,证得∠ABD=60°,根据正弦定理就可以求出.
解答:证明:
BC∥AF
CD∥AE
?
△BEC∽△DCF,
BE
DC
=
BC
DF
∵DC=BC=BD
BE
BD
=
BD
DF

∴△BED∽△DBF.
∴∠BED=∠DBM.
∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD=60°.
∴由正弦定理得:2R1=
BE
sin60°
,2R2=
DF
sin60°

∴R1•R2=
BE
2sin60°
DF
2sin60°
=
BE•DF
4sin260°
=
a2
3
点评:本题主要考查了相似三角形的性质以及正弦定理的运用.
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(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S与x的函数关系式.

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A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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(2012•普陀区二模)如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时,弧BC的长度等于
π
3
π
3
(结果保留π).

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3
n-1
3
n-1

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