Question

已知函数y=x²-mx+m-2．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值-

5

4

，求函数表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：证明题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=m²-4m+8，然后配方得△=（m-2）²+4，利用非负数的性质得△＞0，于是根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；
（2）根据二次函数的最值问题得到

4(m-2)-m2

4

=-

5

4

，解方程得m₁=1，m₂=3，然后把m的值分别代入原解析式即可．

解答：（1）证明：y=x²-mx+m-2，
△=（-m）²-4（m-2）
=m²-4m+8
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）

4(m-2)-m2

4

=-

5

4

，
整理得m²-4m+3=0，
解得m₁=1，m₂=3，
当m=1时，函数解析式为y=x²-x-1；
当m=3时，函数解析式为y=x²-3x+1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的最值问题．