Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0），且x1+x2=4，

x1

x2

=

1

3

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）求抛物线的解析式，可以先解方程组确定A，B的坐标，再用代入法求出；
（2）根据点B、C的特点，代入抛物线的解析式，确定B（3，0），C（0，-3）的坐标，待定系数法求直线的解析式；
（3）求△ABC的面积，根据三角形的面积公式须求出AB，OC的长，由点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）即可求出．

解答：解：（1）由

x1+x2=4 x1 x2 = 1 3

解得

x1=1 x2=3

（2分）
将A（1，0），B（3，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c
得

0=-12+b+c 0=-32+3b+c

（3分）
解得b=4，c=-3
∴此抛物线的解析式为y=-x²+4x-3（5分）

（2）作直线BC
∵直线经过B（3，0），C（0，-3）
∴将B（3，0），C（0，-3）的坐标分别代入y=kx+b
得

3k+b=0 b=-3

（7分）
解得k=1，b=-3
所以此直线的解析式为y=x-3（8分）

（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）（9分）
∴|AB|=2，|OC|=3
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•|OC|=

1

2

×2×3=3．（10分）

点评：本题着重考查了代入法求二次函数解析式、待定系数法求直线函数解析式、同时考查了函数图象中三角形面积的计算．