Question

在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点O重合时，显然有DF=CF．如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E，
（1）求证：DF=EF；
（2）求证：PC-PA=

2

CE．

Answer 1

分析：（1）要证明DF=EF，连接PD，证明PD=PE，利用等腰三角形的性质，底边上三线合一，可以得出结论．
（2）由CE=CF-EF，又有PC和CF的关系、PA和EF的关系，结合到一起可以求解．

解答：证明：如图①连接PD，∵四边形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

（2）如图②，过点P作PH⊥AD于点H，
由（1）知：PA=

2

PH=

2

DF=

2

EF
PC=

2

CF
∴PC-PA=

2

（CF-EF），
即PC-PA=

2

CE．

点评：本题考查了正方形的性质，合理的作出辅助线，利用各边之间的关系，通过转换的思想求证．