Question

【题目】若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2和y=2x2；（2）函数y2的表达式为y2=7x2-14x+7，当0≤x≤3时，x=3时，y2的值最大，最大值=28．

【解析】

（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的表达式即可；

（2）由y1的图像经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质即可得出答案.

解：（1）二次函数y=x2和y=2x2是“同簇二次函数”；

（2）把A（1，1）代入y1=2x2-4mx+2m2+1得2-4m+2m2+1=1，解得m=1，

则y1=2x2-4x+3，y2=ax2+bx+7，

所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b-4）x+10，

而y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，即二次函数y1的顶点坐标为（1，1），

因为y3与y1为“同簇二次函数”，

所以二次函数y3的顶点坐标为（1，1），

则a+2+b-4+10=1，-=1，解得a=7，b=-14，

所以函数y2的表达式为y2=7x2-14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x=-=1，

当0≤x≤3时，x=3时，y2的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．