Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动（点P与点A不重合），直角的一边始终经过点B，直角的另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点的距离为x，问当点P在线段AC上滑动时，△PCQ能否成为等腰三角形：

 

（用“能”或“不能”填空）．若能，直接写出使△PCQ成为等腰三角形时相应的x的值；若不能，请简要说明理由：

 

．

Answer 1

分析：首先过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，易证得四边形PFCE是正方形，设AP=x，CQ=y，易求得当Q在DC上时，y=1-

2

x，当点Q在边DC的延长线上时，y=

2

x-1，然后分别分析PC=CQ与PQ=QC时的情景，即可求得答案．

解答：解：能．
理由：
如图，当Q在DC上时，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，
∵∠BCD=90°
∴四边形PFCE是矩形，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四边形PFCE是正方形．
∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=

2

，
∵四边形PFCE是正方形，
∴PC=

2

-x，
∴CE=1-

2

2

x，
∴BF=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴EQ=

2

2

x，
∴y=CQ=（1-

2

2

x）-

2

2

x=1-

2

x，
∴y=1-

2

x（0≤x≤

2

2

）；
同理：当点Q在边DC的延长线上时，
∵PC=

2

-x，利用勾股定理得出：EC=1-

2

2

x，
EQ=BF=MP=

2

2

x，
∴CQ=EQ-EC=

2

x-1，
∴y=

2

x-1（

2

2

≤x≤

2

）；
∴①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图），此时，QN=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，
∴CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
当

2

-x=

2

x-1时，得x=1．
∴当x=0或1时，△PCQ是等腰三角形．

点评：此题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质以及一次函数的应用等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．