练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3）．

    （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
    （2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过C点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点，且PC=PF，求点P的坐标；
    （3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．（直接写出结果，不要解答过程）

    分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点极坐标；
    （2）根据待定系数法，可得直线l的解析式，根据中点坐标公式，可得D是CF的中点，根据勾股定理，可得EF，EC，根据线段垂直平分线的性质，可得ED是线段CF直平分线，根据解方程组，可得P点坐标；
    （3）根据平移，可得新抛物线，根据平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短，可得切线，根据解方程组，可得答案．

    解答 （1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2+x；
    ∵y=$\frac{1}{4}$x2+x=$\frac{1}{4}$（x+2）2-1，
    ∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）；
    （2）如图1：

    直线l的解析式为y=2x-n，
    ∵直线l过点C（2，3），
    ∴n=1，
    ∴直线l的解析式为y=2x-1，当x=0时，y=-1，即D（0，-1）．
    ∵抛物线的对称轴为x=-2，
    ∴E（-2，0）．
    当x=-2时，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），
    ∴CD=DF=2$\sqrt{5}$，
    ∴点D是线段CF的中点，
    ∵C（2，3），
    ∴EF=EC=5，
    ∴ED垂直平分CF．
    ∴PC=PF，
    ∴点P在CF的垂直平分线上，
    ∴点P是抛物线与直线ED的交点．
    ED的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1．
    联立抛物线与ED，得
    $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3+\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
    点P的坐标（-3+$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）或（-3-$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
    （3）如图2：

    移后的抛物线为y═$\frac{1}{4}$x2+x+4
    平行于CD与物线相切的直线为y=2x+b，
    联立，得$\frac{1}{4}$x2+x+4=2x+b
    方程有相等二实根，得
    △=b2-4ac=（-1）2-4×$\frac{1}{4}$（4-b）=0
    解得b=3．
    $\frac{1}{4}$x2-x+1=0，
    解得x=2，y=2x+3=7，
    新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标是（2，7）．

    点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用线段垂直平分线的性质得出P是线段CD的垂直平分线与抛物线的交点是解题关键；利用平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短得出抛物线的切线是解题关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．
    类别时间t（小时）人数
    At≤0.55
    B0.5＜t≤120
    C1＜t≤1.5a
    D1.5＜t≤230
    Et＞210
    （1）a=35；
    （2）补全条形统计图；
    （3）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．如图①，点A′、B′的坐标分别为（4，0）和（0，-8），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋90°转后得△ABO，点A′的对应点是A，点B′的对应点是点B．
    （1）写出A、B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
    （2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在线段AB上，点D不与A、B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
    ①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
    ②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
    （3）当4＜x＜8时，是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．若a+b=5，ab=2，求a2+b2，（a-b）2的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    20．下列图形中，如图所示几何体的俯视图的是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（　　）
    A．1B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{1}{3}$D．0

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．在△ABC中，点O是AC边上的一点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角的平分线于点F，连接AE、AF．
    （1）求证：OE=OF；
    （2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？（直接写出结果）
    （3）在（2）的条件下，当△ABC是什么形状的三角形时，四边形AECF是正方形？（直接写出结果）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．已知m+2n=2，关于整式①m2+4n（m+n），②2n2+mn+m的值，下列说法正确的是（　　）
    A．①是常数，②不是常数B．①是不常数，②是常数
    C．①、②都是常数D．①、②都不是常数

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．如图1，点A，B是在数轴上对应的数字分别为-12和4，动点P和Q分别从A，B两点同时出发向右运动，点P的速度是5个单位/秒，点Q的速度是2个单位/秒，设运动时间为t秒．

    （1）AB=16．
    （2）当点P在线段BQ上时（如图2）：
    ①BP=5t-16（用含t的代数式表示）；
    ②当P点为BQ中点时，求t的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案