如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′,
(1)求证:四边形OAO′B是菱形;
(2)当点O′落在⊙O上时,求b的值.
(1)证明:∵点O、O′关于直线y=x+b的对称,
∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线,∴AO=AO′,BO=BO′。
又∵OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB。
∴AO=AO′=BO=BO′。∴四边形OAO′B是菱形.
(2)解:如图,设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是
N(-b,0),P(0,b),AB与OO′相交于点M。
则△ONP为等腰直角三角形,∴∠OPN=45°。
∵四边形OAO′B是菱形,∴OM⊥PN。
∴△OMP为等腰直角三角形。
当点O′落在圆上时,OM=OO′=1。
在Rt△OMP中,由勾股定理得:OP=,即b=
。
【解析】一次函数综合题,线段中垂线的判定和性质,菱形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
(1)根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′D的垂直平分线,根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO=AO′,BO=BO′,从而得AO=AO′=BO=BO′,即可推出答案。
(2)设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b,0),P(0,b),得出等腰直角三角形ONP,求出OM⊥NP,求出MP=OM=1,根据勾股定理求出即可。
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(江苏连云港卷)数学(带解析) 题型:解答题
如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′,
(1)求证:四边形OAO′B是菱形;
(2)当点O′落在⊙O上时,求b的值.
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科目:初中数学 来源:2012年湖北省十堰市郧县中考数学三模试卷(解析版) 题型:选择题
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