Question

【题目】如图，、、三点在同一条直线上，和是等边三角形，、分别为、的中点．

求证：（1）；

（2）是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）由两三角形为等边三角形，得到两对边相等，一对角为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCE全等；

（2）利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由两个角为60度，且夹边AC=BC，利用SAS得到三角形ACM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证.

证明：

（1）∵△ABC与△ECD均为等边三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴

（2）由（1）可得，∠DAC=∠EBC

∵M、N分别为AD、BE的中点

∴AM=BN

又AC=BC

∴△ACM≌△BCN（SAS）

∴MC=NC,∠ACM=∠BCN

∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠BCN+∠ACN=∠ACB=60°

∴是等边三角形