【题目】在平面直角坐标系中,⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A,B,点C为第一象限内⊙M上一点.若点A(6,0),∠BCO=30°.
(1)求点B的坐标;
(2)若点D的坐标为(-2,0),试猜想直线DB与⊙M的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)B(0,2);(2)DB与⊙M相切,理由见解析.
【解析】
(1)连接AB,则AB为⊙M的直径,由圆周角定理可知∠BAO=30°,求出OB的长即可得到点B的坐标;
(2)分别求出DB,DA,AB的长,运用勾股定理逆定理证明△ABD为直角三角形即可.
(1) 如图,连接AB,
∵∠BAO=∠BCO=30°,∠AOB=90°,
∴AB为⊙M的直径,
∵A(6,0),
∴OA=6.
∵tan∠BAO=,
∴OB=2,
∴B(0,2);
(2)DB与⊙M相切,理由如下:
∵D(-2,0),OD=2,
∴DB2=OB2+OD2=(2)2+22=12+4=16,
AD2=(OA+OD)2=(6+2)2=64
AB2=OA2+OB2=62+(2)2=48,
∴DB2+AB2=AD2,
∴△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°,
即DB与⊙M相切.
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【题目】为了弘扬中国传统文化,某校对全校学生进行了古诗词知识测试,将测试成绩分为一般、良好、优秀三个等级.从中随机抽取部分学生的测试成绩,绘制成如下两幅统计图,根据图中的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 ,扇形统计图中阴影部分扇形的圆心角是 度;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)根据本次抽样调查的结果,试估计该校2000名学生中测试成绩为良好和优秀的共有多少人.
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【题目】疫情期间,“线上教学”为我们提供了复习的渠道.学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查,并将调查结果统计后绘制成如下统计表和统计图.
调查结果统计表
类别 | 非常喜欢 | 喜欢 | 一般 | 不喜欢 |
频数 | a | 70 | 20 | 10 |
频率 | 0.5 | b | 0.15 |
调查结果扇形统计图
(1)在统计表中,a= ;b= ;
(2)在扇形统计图中,对线上教学感觉“一般”所对应的圆心角度数为 ;
(3)已知全校共有3000名学生,试估计“喜欢”线上教学的学生人数.
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【题目】对于平面直角坐标系中的图形,,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果线段的长度有最小值,那么称这个最小值为图形,的“近距”,记作;如果线段的长度有最大值,那么称这个最大值为图形,的“远距”,记作.
已知点,.
(1)(点,线段)______,(点,线段)______;
(2)一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,若(线段,线段),
①求的值;
②直接写出(线段,线段)______;
(3)的圆心为,半径为1.若(线段),请直接写出(,线段)的取值范围.
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【题目】如图1,直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上(点不与点重合,可与点重合),满足,于点,已知,.
(1)若,则___________;
(2)当点在的平分线上时,求的长;
(3)当点的位置发生改变时:
①如图2,的外接圆是否与一直保持相切.说明理由;
②直接写出的外接圆与相切时的长.
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【题目】为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
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【题目】(1)解不等式5x+2≥3(x﹣1),并把它的解集在数轴上表示出来.
(2)写出一个实数k,使得不等式x<k和(1)中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解.
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