Question

如图1，在正方形ABCD的边AB上取一点P（不与端点A，B重合），以AP为一边作正方形APEF，连接BE，DE，观察图形，有如下三个结论成立：①BE=DE；②BP=DF；③BP⊥DF．如图2，将正方形APEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）旋转后，上述三个结论仍然成立的有哪些？写出仍然成立的结论，并证明；
（2）若正方形APEF的边长为2

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，旋转时，正方形APEF的边与AD交于点G，若AG=4，请直接写出旋转角α的度数．

Answer 1

分析：（1）由图观察，旋转后依然成立的结论应该是②和③，连接BP，DF，BP的延长线分别交AD，DF于点M，N．要证明BP⊥DF，就要证明∠FDA+∠DMN=90°，∠DMN=∠AMB．
而∠AMB+∠ABM=90°，因此要证BP⊥DF，就要证明∠FDA=∠ABM．
我们发现要证明的∠FDA=∠ABM和BP=DF都在三角形ADF和ABP中，那么只要证明△ADF和△ABP全等即可．
因为∠DAF和∠PAB都与∠DAP互余，因此∠DAF=∠PAB，又有AP=AF，AB=AD．因此两三角形就全等了．
（2）分两种情况：①G在EF边上；②G在EP边上解答．

解答：解：（1）旋转后，仍然成立的结论是：②BP=DF，③BP⊥DF．
证明：连接BP，DF，
∵∠PAB=α=90°-∠DAP=∠FAD，
AP=AF，AB=AD，
∴△ABP≌△ADF，
∴BP=DF，
延长BP，分别交AD，DF于点M，N，
由△ABP≌△ADF得∠MBA=∠MDN，
又∠BMA=∠DMN，
∴∠DNM=∠BAD=90°，即BP⊥DF．


（2）分两种情况：①当G在EF边上时，如备用图．
在直角三角形FGA中，cos∠FAG=AF：AG=

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：2，因此∠FAG=30°．
因此，∠GAP=60°，∠PAB=∠α=30°．
②当G在EP边上时，如图2．
求法同①只不过是在直角三角形GAP中进行求值，求出的结果是∠PAB=∠α=60°．
故旋转角α的度数为30°或60°．

点评：平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等．巧妙地运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅．