Question

【题目】如图，△ACD中，∠ACD=60°，以AC为边作等腰三角形ABC，AB=AC，E、F分别为边CD、BC上的点，连结AE、AF、EF，∠BAC=∠EAF=60°

（1）求证：△ABF≌△ACE；

（2）若∠AED=70°，求∠EFC的度数；

（3）请直接指出：当F点在BC何处时，AC⊥EF？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠EFC=10°；（3）当F点是BC的中点时，AC⊥EF．理由见解析.

【解析】

（1）由等边三角形性质得到∠B=∠ACB=（180°-6°）÷2=60°，所以∠ACD=∠D，又∠BAC-∠CAF=∠EAF-∠CAF，即∠EAC=∠BAF，又AB=AC，所以得到△CAE≌△BAF． （2）由△CAE≌△BAF，得到AE=AF，∠AEC=∠AFB，有∠AEF=∠AFE=（180°-60°）÷2=60°，又因∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180°，得到∠AED=∠AFC=70°，所以∠EFC=∠AFC-∠AFE=70°-60°=10°． （3）△CAE≌△BAF得到AE=AF，CE=BF，又因BF=CF，所以CE=CF，即得到AC⊥EF

（1）证明：∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAC-∠CAF=∠EAF-∠CAF，

∴∠EAC=∠BAF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=（180°-6°）÷2=60°，

∵∠ACD=60°，

∴∠ACD=∠D，

在△CAE和△BAF中，

，

∴△CAE≌△BAF．

（2）解：∵△CAE≌△BAF，

∴AE=AF，∠AEC=∠AFB，

∴∠AEF=∠AFE=（180°-60°）÷2=60°，

∵∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180°，

∴∠AED=∠AFC=70°，

∴∠EFC=∠AFC-∠AFE=70°-60°=10°．

（3）解：当F点是BC的中点时，AC⊥EF．

理由：∵△CAE≌△BAF．

∴AE=AF，CE=BF，

∵BF=CF，

∴CE=CF，

∴AC⊥EF．