Question

【题目】如图，在中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线，设MN交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．

求证：；

当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；

在的条件下，给再添加一个条件，使四边形AECF是正方形，那么添加的条件是______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由见解析；（3）∠ACB为直角的直角三角形时.

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可．

解：（1）

∵MN∥BC，
∴∠3=∠2，
又∵CF平分∠GCO，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FO=CO，
同理：EO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，
由（1）可知，FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

故答案为：∠ACB为直角的直角三角形时.