Question

如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且

AP

PB

=m，

AQ

QC

=n，则

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．

解答：解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点，
∴MD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2MD，
∴

1

m

+

1

n

=

PB

AP

+

CQ

AQ

=

BE

AM

+

CF

AM

=

BE+CF

AM

=

2MD

AM

=1．

点评：此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．