Question

建瓯有“中国竹子之乡”之称，某竹制品公司推出一款新型时尚产品，设该产品投放市场后第x个月的利润为y（万元），已知y与x满足y=ax²+bx（a≠0），且当x=1时，y=13；当x=2时，y=24．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）该产品投放市场第几个月的利润最大？最大利润是多少万元？
（3）若该公司持续经营此款产品，请判断是否可能出现亏损？若可能，第几个月开始？

Answer 1

分析：（1）由待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数解析式，将实际问题转化为求函数最值问题；（3）根据函数的增减性，判断是否可能出现亏损．

解答：解：（1）∵x=1时，y=13；x=2时，y=24，
∴

a+b=13 4a+2b=24

，
解得

a=-1 b=14

，
则二次函数解析式为y=-x²+14x；
（2）y=-x²+14x=-（x-7）²+49，
即x=7时，y最大，
∴第7个月的利润最大，最大利润是49万元，
（3）可能出现亏损，
由于x≥7时，y随着x的增大而减小，
又当x=14时，y=0，
∴从第15个月开始出现亏损．

点评：此题考查二次函数的性质及其应用，还考查函数的增减性，学会用待定系数法求解抛物线解析式，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．