Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C。
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长。

Answer 1

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1，
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=OP=，AF=BF，
在Rt△OAF中，
∵AF=，
∴AB=2AF=；
（2）∠ACB是定值，理由：
由（1）易知，∠AOB=120°，
因为点D为△ABC的内心，
所以，连结AD、BD，则∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°，
所以∠CAB+∠CBA=120°，
所以∠ACB=60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，
则有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴
DE，
∵，
∴，
∴l=8DE，
∵CG，CH是⊙D的切线，
∴∠GCD=∠ACB=30°，
∴在Rt△CGD中，CG=DE，
∴CH=CG=DE，
可知AG=AE，BH=BE，
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE，
解得DE=，
∴△ABC的周长为。