【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AD,过点A作直线MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由圆周角定理得到∠ACB=90°,求得∠BAM=90°,根据垂直的定义得到AB⊥MN,即可得到结论;
(2)连接OC,过E作EH⊥OC于H,根据三角函数的定义得到∠D=30°,求得∠AOC=60°,解直角三角形得到,根据相交弦定理得到结论.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵∠B=∠D,∠MAC=∠ADC,
∴∠B=∠MAC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,
∴∠BAM=90°,
∴AB⊥MN,
∴直线MN是⊙O的切线;
(2)解:连接OC,过E作EH⊥OC于H,
∵sin∠ADC=,
∴∠D=30°,
∴∠B=∠D=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AB=8,
∴AO=BO=4,
∵AE=3,
∴OE=1,BE=5,
∵∠EHO=90°,
∴,
∴CH=,
,
∵弦CD与AB交于点E,
由相交弦定理得,AEBE=CEDE,
.
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【题目】如图,点D是△ABC的边AB上一点,点E为AC的中点,过点C作CF∥AB交DE延长线于点F.
(1)求证:AD=CF.
(2)连接AF,CD,求证:四边形ADCF为平行四边形.
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【题目】为了丰富校园文化生活,促进学生积极参加体育运动,某校准备成立校排球队,现计划购进一批甲、乙两种型号的排球,已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元;如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球,一共需花费780元.
(1)求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元?
(2)学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个,其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球,并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元,求该学校共有几种购买方案?
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【题目】在直角坐标系中,正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上,点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上.若点B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),则点An的坐标为 .
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【题目】如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为_____.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点A在格点上,B是小正方形边的中点,,,经过点A,B的圆的圆心在边AC上.
(Ⅰ)线段AB的长等于_______________;
(Ⅱ)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)_____.
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【题目】如图,线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC,点B对应点C,在∠BAC的内部有一点P,PA=8,PB=4,PC=4,则线段AB的长为_____.
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【题目】抛物线(是常数),,顶点坐标为.给出下列结论:①若点与点在该抛物线上,当时,则;②关于的一元二次方程无实数解,那么( )
A.①正确,②正确B.①正确,②错误C.①错误,②正确D.①错误,②错误
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O且AB=AC,延长BC至点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE.
(1)求证:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①当∠ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=6,EF=4,DE的长为 .
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