Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线．

（2）若sin∠ADC＝，AB＝8，AE＝3，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAM=90°，根据垂直的定义得到AB⊥MN，即可得到结论；
（2）连接OC，过E作EH⊥OC于H，根据三角函数的定义得到∠D=30°，求得∠AOC=60°，解直角三角形得到，根据相交弦定理得到结论．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC，

∴∠B＝∠MAC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，

∴∠BAM＝90°，

∴AB⊥MN，

∴直线MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OC，过E作EH⊥OC于H，

∵sin∠ADC＝，

∴∠D＝30°，

∴∠B＝∠D＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵AB＝8，

∴AO＝BO＝4，

∵AE＝3，

∴OE＝1，BE＝5，

∵∠EHO＝90°，

∴，

∴CH＝，

，

∵弦CD与AB交于点E，

由相交弦定理得，AEBE＝CEDE，

．