Question

已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=-

1

6

x²+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；
（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=-

1

6

x²+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据正方形的性质求出点A的坐标，然后把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c，即可得解；
（2）表示出PO、PC，再根据同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG相似，再根据相似三角形对应边成比例列式表示出GC，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出∠OAP=∠COD，再利用“角边角”证明△AOP和△OCD全等，根据全等三角形对应边相等可得OP=CD，再求出PC，从而得到点D的坐标，然后分①点Q在直线BC的右边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值，②点Q在直线BC的左边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值．

解答：解：（1）∵B（4，4），
∴AB=BC=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=4，
∴A（0，4），
将点A（0，4），B（4，4）代入y=-

1

6

x²+bx+c得

c=4 - 1 6 ×16+4b+c=4

，
解得

b= 2 3 c=4

．
∴二次函数解析式为y=-

1

6

x²+

2

3

x+4；

（2）∵P（t，0），
∴OP=t，PC=4-t，
∵AP⊥PG，
∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠CPG，
又∵∠AOP=∠PCG=90°，
∴△AOP∽△PCG，
∴

AO

PC

=

OP

GC

，
即

4

t

=

4-t

GC

，
整理得，GC=-

1

4

（t-2）²+1，
∴当t=2时，GC有最大值是1，
即P（2，0）时，GC的最大值是1；

（3）存在点Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．
理由如下：如图1、2，易得∠OAP=∠COD，
在△AOP和△OCD中，

∠OAP=∠COD OA=OC ∠AOP=∠OCD=90°

，
∴△AOP≌△OCD（ASA），
∴OP=CD，
由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，
∵P（t，0），D（4，t），
∴PC=DQ=|t-4|，
∴点Q的坐标为（t，t）或（8-t，t），
①当Q（t，t）时，-

1

6

t²+

2

3

t+4=t，
整理得，t²+2t-24=0，
解得t₁=4（舍去），t₂=-6，
②当Q（8-t，t）时，-

1

6

（8-t）²+

2

3

（8-t）+4=t，
整理得，t²-6t+8=0，
解得t₁=2，t₂=4（舍去），
综上所述，存在点Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，全等三角形的判定与性质，平行四边形的 对边平行且相等的性质，（2）求出三角形相似是解题的关键，（3）难点在于根据平行四边形的性质表示出点Q的坐标．