考点:二次函数综合题
专题:压轴题
分析:(1)根据正方形的性质求出点A的坐标,然后把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c,即可得解;
(2)表示出PO、PC,再根据同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG,然后求出△AOP和△PCG相似,再根据相似三角形对应边成比例列式表示出GC,然后根据二次函数的最值问题解答;
(3)求出∠OAP=∠COD,再利用“角边角”证明△AOP和△OCD全等,根据全等三角形对应边相等可得OP=CD,再求出PC,从而得到点D的坐标,然后分①点Q在直线BC的右边时,根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标,再代入二次函数解析式计算即可求出t值,②点Q在直线BC的左边时,根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标,再代入二次函数解析式计算即可求出t值.
解答:解:(1)∵B(4,4),
∴AB=BC=4,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=4,
∴A(0,4),
将点A(0,4),B(4,4)代入y=-
x2+bx+c得
,
解得
.
∴二次函数解析式为y=-
x
2+
x+4;
(2)∵P(t,0),
∴OP=t,PC=4-t,
∵AP⊥PG,
∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°,
∵∠OAP+∠APO=90°,
∴∠OAP=∠CPG,
又∵∠AOP=∠PCG=90°,
∴△AOP∽△PCG,
∴
=
,
即
=
,
整理得,GC=-
(t-2)
2+1,
∴当t=2时,GC有最大值是1,
即P(2,0)时,GC的最大值是1;
(3)存在点Q,使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.
理由如下:如图1、2,易得∠OAP=∠COD,
在△AOP和△OCD中,
| ∠OAP=∠COD | OA=OC | ∠AOP=∠OCD=90° |
| |
,
∴△AOP≌△OCD(ASA),
∴OP=CD,
由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得,PC∥DQ且PC=DQ,
∵P(t,0),D(4,t),
∴PC=DQ=|t-4|,
∴点Q的坐标为(t,t)或(8-t,t),
①当Q(t,t)时,-
t
2+
t+4=t,
整理得,t
2+2t-24=0,
解得t
1=4(舍去),t
2=-6,
②当Q(8-t,t)时,-
(8-t)
2+
(8-t)+4=t,
整理得,t
2-6t+8=0,
解得t
1=2,t
2=4(舍去),
综上所述,存在点Q(-6,-6)或(6,2),使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形.
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,二次函数的最值问题,全等三角形的判定与性质,平行四边形的 对边平行且相等的性质,(2)求出三角形相似是解题的关键,(3)难点在于根据平行四边形的性质表示出点Q的坐标.