Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；（3）满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．

【解析】

（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标代入解析式中列出二元一次方程组 ，解此方程组即可求得抛物线的解析式；

（2）结合图像可知△BDE和△BEF是等高的，，由此得出他们的面积比即为DE：EF＝2：3，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出方程，解方程求得D点坐标；

（3）分情况分析△MBC为直角三角形时M的坐标即可.

（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，

得：，

解得 ，

则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）能．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把C（0，5），B（5，0）代入得 ，

解得 ，

所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，

设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），

∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，

当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，

即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，

整理得3x2﹣17x+10＝0，

解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；

当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，

整理得2x2﹣13x+15＝0，

解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；

综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；

（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，

设M（2，t），

∵B（5，0），C（0，5），

∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，

当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；

当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；

当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），

综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．