Question

11．（1）如果a+b=0，则a•$\frac{1}{b}$+b•$\frac{1}{a}$=-2；如果a+b+c=0，则a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=-3；
（2）x₁+x₂+x₃+…+x_n=0，则x₁（$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n}}$）+x₂（$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）+…+x_n（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$）=-n（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）进行恒等变形可得a•$\frac{1}{b}$+b•$\frac{1}{a}$=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$）=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）-2=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）-2，a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{a}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{c}$）=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）-3，由此即可解决问题．
（2）方法类似（1）．

解答 解：（1）∵a•$\frac{1}{b}$+b•$\frac{1}{a}$=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$）=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）-2=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）-2，
∵a+b=0，
∴上式=-2．
∵a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=a（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{a}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{c}$）=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）-3
∵a+b+c=0，
∴上式=-3，
故答案为-2，-3．

（2）x₁（$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n}}$）+x₂（$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）+…+x_n（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$）=x₁（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）+x₂（$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）+…+x_n（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$）=（x₁+x₂+…+x_n）（（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n}}$）-n，
∵x₁+x₂+x₃+…+x_n=0，
∴上式=-n．
故答案为-n．

点评 本题考查规律题-数字变化类、代数式求值问题，解题的关键是学会恒等变形，属于中考填空题中的压轴题．