Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．

（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度；

（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；

（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．

Answer 1

【答案】（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；

（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．

解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AB＝AC＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，

∵∠AED＝20°，

∴∠ABE＝∠AED＝20°，

∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°

∴∠CAE＝50°，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠ACE＝65°，

∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，

故答案为：45；

（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，

理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，

∴∠BAE＝180°﹣2α，

∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝45°+α，

∴∠AEC﹣∠AED＝45°；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，

∴∠FEH＝45°，

∵AH⊥BE，

∴∠FHE＝∠FEH＝45°，

∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，

∴EH＝EF，

∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，

∴∠GCH＝∠FHE＝45°，

∴GC＝GH，

∴CH＝CG，

∵∠BAC＝∠CGA＝90°，

∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，

∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，

∴△AFB≌△CGA（AAS）

∴AF＝CG，

∴CH＝AF，

∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，

∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，

∴EH2+CH2＝2AE2．