Question

20．如图所示，四边形ABCD中，AD=BC，AC为对角线，且∠DAC=∠BCA，AD⊥CD；
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，E为AB上一点，连接CE，在CE上取点F，连接AF，且∠FAC=∠ECB，∠DCA=∠DAF，求证：CF=2EB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF并延长，若BF的延长线过点D，当DF=4时，求CF的长度．

Answer 1

分析 （1）证出AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，再得出∠D=90°，即可得出结论；
（2）延长EB至G，使BG=BE，连接CG，如图所示：由矩形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，得出∠DCA=∠BAC，证出∠EAF=∠EFA，得出AE=EF，再证出CG=CE，由等腰三角形的性质得出∠ECB=∠GCB，证出∠ACG=∠DAF=∠BAC，得出AG=CG，因此CE=AG，即可得出结论；
（3）证出△ABF是直角三角形，AF⊥BD，设BE=x，则AB=2x，EC=3x，由勾股定理得出BC²=EC²-EB²=8x²，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}x$，求出AF=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，在Rt△AFD中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）证明：延长EB至G，使BG=BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DCA=∠DAF，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAC，
∵∠AFE=∠FAC+∠ACE，∠ACB=∠ECB+∠ACE，∠FAC=∠ECB，
∴∠AFE=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠EAF=∠EFA，
∴AE=EF，
∵AB⊥BC，BG=BE，
∴CG=CE，
∴∠ECB=∠GCB，
∵∠ACG=∠ACB+∠BCG，∠ACB=∠CAD，
∴∠ACG=∠DAF=∠BAC，
∴AG=CG，
又∵CE=CG，
∴CE=AG，
∴CF+EF=AE+2EB，
∴CF=2EB；
（3）解：∵∠BFE=∠FBC+∠ECB=∠OCB+∠ECB=∠BAC，∠BAC=∠ABO，
∴∠BFE=∠ABO，
∴BE=EF，
又∵AE=EF，
∴AE=EB=EF，即EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ABF是直角三角形，AF⊥BD，
设BE=x，则AB=2x，EC=3x，
∴BC²=EC²-EB²=8x²，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}x$，
∴AF=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{2x•2\sqrt{2}x}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD²=AF²+FD²，
即（2$\sqrt{2}$x）²=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x）²+4²，
解得：x=±$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴CF=2BE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大．