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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    △ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
    （1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
    （2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
    ①当a=，b=-，c=-时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
    ②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）由于O是AB的中点，则OA=OB=；可设出点B的横坐标，结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标；
    （2）①已知了抛物线的解析式，即可得到抛物线的对称轴方程，也就得到了C点的横坐标；此时发现C点横坐标为正数，所以分两种情况讨论：
    一、点C在第一象限；在Rt△OBC中，根据OB的长及∠B的度数，可求出OC的长，参照（1）的方法即可求出C点的坐标；若分别过A、C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标，A、B关于原点对称，即可得到B点的坐标；将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
    二、点D在第四象限；方法同一；
    ②若b=-2am，则函数的解析式为：y=ax2-2amx+c=a（x-m）2-am2+c；由此可得C点的横坐标为m；在△ABC旋转的过程中，C点横坐标的取值范围在区间[-1，1]之间，由于当m=-1或1时，C点在x轴上，A、B同时处在y轴，所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点．
    解答：解：（1）∵点O是AB的中点，
    ∴OB=AB=；（1分）
    设点B的横坐标是x（x＞0），
    则x2+（）2=（）2，（1分）
    解得x1=，x2=-（舍去）；
    ∵点B在第一象限，
    ∴点B的横坐标是；（2分）

    （2）①当a=，b=-，c=-时，得y=（*）
    y=；（1分）
    以下分两种情况讨论；
    情况1：设点C在第一象限（如图），
    则点C的横坐标为，OC=OB×tan30°==1；（1分）
    由此，可求得点C的坐标为（，），
    根据∠A=30°，OC⊥AB，
    过C作X轴的垂线交X轴于N，过点A作垂线交X轴于点M，
    则△AOM∽△CON
    ∴OA：OC=OM：CN=AM：ON=：1，
    ∵NO=，
    ∴AM=NO×=，
    ∴MO=CN×=，
    ∴点A（-，），
    ∵A，B两点关于原点对称，

    ∴点B的坐标为（，-），
    将点A的横坐标代入解析式的右边，计算得，
    即等于点A的纵坐标；
    将点B的横坐标代入解析式的右边，计算得-，即等于点B的纵坐标；
    ∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；
    情况2：设点C在第四象限（如图），则点C的坐标为（，-），
    点A的坐标为（，），点B的坐标为（-，-）；
    经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；
    ②存在，m的值是1或-1．
    y=a（x-m）2-am2+c，
    因为这条抛物线的对称轴经过点C，
    所以-1≤m≤1；
    当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．
    因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上．
    点评：此题是二次函数的综合题型，主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、图形的旋转变换等知识．
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    A、y=
    3
    2
    x（0＜x＜2）
    B、y=
    3
    2
    x（0＜x≤2）
    C、y=
    2
    3
    x（0＜x≤2）
    D、y=
    2
    3
    x（0＜x＜2）

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    精英家教网如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=7，点D在AC上，AD=2，
    （1）过点D画直线，使它截△ABC的两边所得的小三角形与△ABC相似（图形备用，标出与∠B相等的角）；
    （2）若截线与AB交于E，求ED的长．

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    7、在△ABC中，AB=3，BC=8，则AC的取值范围是
    5＜AC＜11
    ．

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