Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D．

(1)求证：直线AE是⊙O的切线．

(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3.

【解析】

试题(1)、根据直径所对的圆周角为直角得出∠BCA=90°，从而得出∠B+∠BAC=90°，根据∠B=∠D，∠EAC=∠D得出∠B=∠EAC，从而利用等量代换得出∠BAE=90°，得出切线；(2)、过点F作FH⊥BC于点H，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，根据CF的长度求出CH的长度，然后求出BH的长度，然后根据∠B=60°以及Rt△BFH的三角函数求出BF的长度．

试题解析：解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，

∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠B，∴∠EAC+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，

∴BA⊥AE， ∵BA过O， ∴直线AE是⊙O的切线．

(2)解：如图，作FH⊥BC于点H，

∵∠BAD＝∠BCD，cos∠BAD＝， ∴cos∠BCD ＝，

在Rt△CFH中，∵CF＝ ∴CH＝CF·cos∠BCD＝×＝，

∵BC＝4， ∴BH＝BC－CH＝4－＝，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°，

∴BF＝＝＝3．