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(2013年四川绵阳12分)如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.
解:(1)∵点E是AB的中点,OA=2,AB=4,∴点E的坐标为(2,2)。
将点E的坐标代入,可得k=4。
∴反比例函数解析式为:
∵点F的横坐标为4,∴点F的纵坐标
∴点F的坐标为(4,1)。
(2)结合图形可设点E坐标为(,2),点F坐标为(4,),
则CF=,BF=DF=2﹣,ED=BE=AB﹣AE=4﹣
在Rt△CDF中,
由折叠的性质可得:BE=DE,BF=DF,∠B=∠EDF=90°,
∵∠CDF+∠EDG=90°,∠GED+∠EDG=90°,∴∠CDF=∠GED。
又∵∠EGD=∠DCF=90°,∴△EGD∽△DCF。
,即
=1,解得:k=3。
(1)根据点E是AB中点,可求出点E的坐标,将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值,再由点F的横坐标为4,可求出点F的纵坐标,继而得出答案。
(2)证明∠GED=∠CDF,然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF,设点E坐标为(,2),点E坐标为(4,),即可得CF=,BF=DF=2﹣,在Rt△CDF中表示出CD,利用对应边成比例可求出k的值。
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