Question

直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

Answer 1

解：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x，
解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x）°=30°．
图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=（）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述∠B=45°或30°．
分析：先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
点评：本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．