Question

【题目】如图1，在等腰直角三角形中，,点在边上，连接，连接

（1）求证：

（2）点关于直线的对称点为，连接

①补全图形并证明

②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当三点恰好共线时点的位置，请直接写出此时的度数，并画出相应的图形

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，.

【解析】

（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根据SAS证得△BAD≌△CAE，进而可得结论；

（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE，CM=CA，然后根据SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD=∠CAE即可证得结论；

②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的内角和可得∠HAE=∠HDC，进而可得，接着在△CDM中利用三角形的内角和定理求出∠CMD的度数，再利用①的结论即得答案.

解：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

又∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴；

（2）①补全图形如图2所示，∵点关于直线的对称点为，∴ME=AE，CM=CA，

∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS），

∴，

∵∠BAD=∠CAE，

∴；

②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由（1）题知：，

∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°，

在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC，

∵，∴，

∴，

∵，

∴.