Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB=6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）《根据2011江苏扬州市中考试题改编》

Answer 1

【答案】分析：（1）作出AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆即可得出答案，再利用平行线的判定得出∠ODB=∠C，由切线的判定得出即可；
（2）首先利用直角三角形的性质求出AD的长，进而得出△ADO的面积，进而得出扇形ODE的面积，即可得出答案．
解答：解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．
判断结果：BC是⊙O的切线．
如图2，连接OD． 
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，
 即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）如图3，过点O作OF⊥AD于点F，
∵r=2，AB=6，
∴OB=4，再由DO=2，OD⊥BC，
∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，
∵OE=OD，
∴△EOD为等边三角形，
即可得出∠OAD=∠ODA=30°，
∴FO=AO=1，
∵AE=4，
∴DA=cos30°AE=×AE=2，
∵△ADO的面积为×AD×=×1×2=，
扇形ODE的面积为，
∴阴影部分的面积为：+π．
点评：此题主要考查了切线的判定以及扇形面积求法和三角形面积求法等知识，利用锐角三角函数得出AD的长是解题关键．