Question

【题目】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D.

(1)求证：OC＝AD；

(2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）18.4

【解析】

(1)、根据切线的性质得出OA⊥PA，结合已知条件证明出四边形AOCD为矩形，从而得出答案；(2)、根据Rt△OBC中∠BCO的正弦值得出OC的长度，从而得出四边形的周长．

(1)证明：∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°，∵OC∥AP，

∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°， ∵CD⊥AP，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°，

∴四边形AOCD是矩形，∴OC＝AD；

(2)∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°， ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°，

在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4， ∴OC＝≈5.22，

∴四边形AOCD的周长为2(OA＋OC)≈2×(4＋5.22)≈18.4.