Question

24、如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F．
（1）求证：ED=DF；
（2）若CE=CF，试判断△ABC的形状？

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，从而可判定DE=DF；
（2）先判定四边形AECF是矩形，再根据条件证明其为正方形，利用正方形对角线互相垂直可知AC⊥BC，即可判断△ABC为直角三角形．

解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，
∴∠DCE=∠BCE，∠DCF=∠FCG．
∵MN∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG．
∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF．
∴DE=DC，DC=DF．
∴DE=DF．

（2）解：由（1）可知DE=DF，
∵D为边AC的中点，
∴AD=DC．
∴四边形AECF是矩形．
∵CE=CF，
∴四边形AECF是正方形．
∴AC⊥EF．
∵MN∥BC，
∴AC⊥BC．
∴△ABC是直角三角形．

点评：主要考查了直角三角形的判定，角平分线的定义以及正方形的判定和性质．这些性质定理要求熟练掌握，并会灵活运用．