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(2002•扬州)如图,抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴正半轴于点D,O为坐标原点,抛物线上一点C的横坐标为1.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求证:四边形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

【答案】分析:(1)令y=0,得出的方程的根就是A、B的横坐标.
(2)根据抛物线的解析式可知:D(0,6a),C(1,6a),因此CD∥x轴,只需证AD=BC即可,过C作CE⊥AB,可通过证△AOD和△BEC全等来得出结论.
(3)如果∠CAB=∠ADO,则有△AOD∽△CEA,可通过相似三角形得出的对应成比例线段来求出a的值.
解答:(1)解:令y=0,则有0=-ax2+ax+6a,
解得x=-2,x=3.
∵A在x轴负半轴,B在x轴正半轴
∴A(-2,0),B(3,0).

(2)证明:过C作CE⊥AB于E;
易知D(0,6a),C(1,6a).
因此CD∥AB
∵AO=BE=2,OD=CE=6a,∠AOD=∠CEB=90°
∴△AOD≌△BEC
∴AD=BC
∴四边形ABCD是等腰梯形.

(3)解:∵∠CAB=∠ADO,∠AOD=∠AEC=90°
∴△DAO∽△AEC

∵DO=EC=6a
∴36a2=AE•AO=3•2
∴a=±
∵D点在y轴正半轴,
∴6a>0,即a>0
∴a=
点评:本题中主要考查了二次函数的性质、等腰梯形的判定、全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点.
练习册系列答案
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(1)求点C的坐标;
(2)求证:AE∥BF;
(3)延长BF交y轴于点D,求点D的坐标及直线BD的解析式.

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